前回、「極（極線）」が良くわからなさそうだったので、軽く復習。
まず、「直線の式は、通る\(２\)点がわかれば\(１\)つに定まる」
はOKとしよう。
点\((1,\ 2)\)を通り、円\(x^2+y^2=5\)に接する\(2\)本の接線の接点を\(P,\ Q\)とする。直線\(PQ\)の方程式を求めよ。
この答えは、もちろん \(x+2y=5\)
ちゃんと説明するなら円の接線公式より、\(P(x_1,\ y_1),\ Q(x_2,\ y_2)\)とすると、
\(P\)での接線→ \(x_1 x+y_1 y=5\)
\(Q\)での接線→ \(x_2 x+y_2 y=5\)
これら両方とも\((1,\ 2)\)を通るから、代入して
\(P\) → \(x_1+2y_1=5\) …①
\(Q\) → \(x_2+2y_2=5\) …②
で、①は\(P\)を通り、②は\(Q\)を通る。
つまり、
①から\(x+2y=5\) は \(P(x_1,\ y_1)\) を通るし、
②から\(x+2y=5\) は \(Q(x_2,\ y_2)\) を通る。
つまり、\(P,\ Q\)を通る直線の式は、\(x+2y=5\) であるといえる。
まあ、よくわからなかったらとりあえず覚えておけばOK。
ということで本日の課題。
\(y=ax\ (a >0)\)と接し、中心が第\(4\)象限で半径\(a\)の円の方程式を求めよ
中心を\(P(p,\ -a)\)とでも置いて、点と直線の距離の公式を使用すればOK。
中心の\(y\)座標が負であるから、\(P(p,\ a)\)としないこと！マイナスに注意！
\((x-p)^2+(y+a)^2=a^2\)とおく。（第\(4\)象限だから\(p>0\)）
\(ax-y=0\)と\(P(p,\ -a)\)の距離が半径\(a\)になればよいから
\(\dfrac{|ap+a|}{\sqrt{a^2+1}}=a\)
\(|p+1|=\sqrt{a^2+1}\)
\(p=-1+\sqrt{a^2+1}\)
※\(p> 0\)だから\(p=-1-\sqrt{a^2+1}\)にはならない。
以上より、
\((x-1-\sqrt{a^2+1})^2+(y+a)^2=a2\)
\(x,\ y,\ z\)は\(x \leqq y \leqq z\) となる正の整数で、
\(x^2+y^2+z^2=xyz\)
を満たす。
（１）\(n=1\)のとき \(x,\ y,\ z\)の組をすべて求めよ。
（２）\(n\geqq 3\) のとき、これを満たす\((x,\ y,\ z)\)の組は存在しないことを示せ
（３）\(n=2\) のとき、これを満たす\(y\)の最小値と、そのときの\((x,\ y,\ z)\)の組をすべて求めよ。
（１）ポイントは、\(x+y+z=xyz\)と\(x \leqq y \leqq z\) となる自然数だから
①\(z \leqq x+y+z=xyz \leqq 3z\) ←\(z \leqq x+y+z \leqq 3z\)を利用している
②\(z \leqq x+y+z=xyz \leqq z^3\) ←\(z \leqq xyz \leqq z^3\)を利用している
の2つの不等式が考えられること。これらのどちらか、あるいは両方を使うのが基本的進め方。
なお、今回は明らかに①。\(1,\ 2,\ 3\)が答え
（２）今度は②を用いる。\(n=3\)のときは
\(z \leqq x^3+y^3+z^3=xyz \leqq z^3\)の\(x^3+y^3+z^3 \leqq z^3\)より
\(x^3+y^3 \leqq 0\)
はい、存在しないですね。
\(n>3\)の時も同様で。
（３）①、②どちらでも解けません。
二次式なので、判別式で範囲を制限しましょう。
\(z^2- xyz+x^2+y^2=0\)が実数解持つので、
\(D=(xy)^2-4\cdot 1\cdot (x^2+y^2) \geqq 0\)
よって
\(x^2y^2 \geqq 4x^2+4y^2 \geqq 8x^2\)
\(y^2 \geqq 8\)
そんなわけで、\(y=3\)を試す。
めでたく\((3, \ 3,\ 3)\)と\((3, \ 3,\ 6)\)が見つかる。
